基础部
 首页 | 部门概况 | 党建工作 | 教学科研 | 课程建设 | 工会工作 | 数学园地 | 文学园地 | 下载专区 | 教育教学 
站内搜索:
 
  精品课程
 精品课程 
 
  精品课程    
条件概率
2020-06-20 15:05  

教学内容

第一章  随机事件及其概率

第四节  条件概率

一、条件概率的概念

二、乘法公式

三、全概公式与贝叶斯公式

教学重点:条件概率性质与计算方法;全概率及其逆公式的理解、建模与求解

教学难点:用条件概率乘法定理展开多个积事件。

教学组织

1.教学方法: 提问、讲授、启发、讨论

2. 工具仪器: 多媒体教具、教材、教案、教学课件、考勤表、平时成绩登记表

3. 教学安排: 考勤、复习相关知识点、新课内容概述、组织教学、布置作业。

4.教学过程:

第一部分:新课内容概述(10分钟)

首先对上次课程学习的古典概率问题的基本建模与求解问题进行复习回顾。

对新课内容进行概述:首先学习条件概率,以及乘法公式,最后介绍两个重要的概率计算公式:全概率公式和贝叶斯公式;

全概率应用:在许多实际问题当中,直接求得P(A)并不容易,但却容易找到样本空间S的一个划分,且P(Bi) 和 P(A|Bi)很容易求得,则可根据全概率公式来求出P(A)。

第二部分:条件概率(25分钟)

条件概率问题是概率论中,内容最为丰富的一个问题,主要考虑:在事件A发生的条件下事件B发生的概率。

(一) 条件概率的定义

引例:甲,乙两厂同时生产一批产品,其生产数量如下:

 甲厂乙厂合计合格品524395次品325合计5545100

从中任取一件,求:

(1)取到一件甲厂产品的概率。

(2)取到一件次品的概率。

(3)取到一件甲厂的次品的概率。

(4)若取到一件为甲厂的产品,则其为次品的概率。

解:记A={取到一件甲厂的产品},B={取到一件次品}。

    则 (1)P(A)=55%   (2)P(B)=0.05%

(3)P(AB)=3 %(4)P(B|A)=3/55=P(AB)/ P(A)

B 

 

 

 

记已知事件A发生的条件下事件B发生的概率为P(B|A),由古典概型计算方法

P(B|A)                                                                                                    

即P(B|A)                   ,其中P(A)=                   >0.

定义:设A,B是两事件,且P(A)>0,则称

P(B|A)                  

为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率。

它也符合概率定义的三个条件:

1)非负性:                   事件B,有P(B|A)³0

2)规范性:对于必然事件S,有P(S|A)=1;

3)可列可加性:设B1, B2, … , Bk是两两互不相容的事件,即对于ijBiB­jΦij=1,2,…,则有

P(                   |A)                  

例1  某种动物出生后,能活到30岁的概率是0.8,活到35岁的概率为0.4,现有一只30岁的这种动物,求它能活到35岁的概率是多少?

设A=“活到35岁”,B=“活到30岁”,则所求概率为

                       

                 

                 

                 

                 

第三部分:乘法公式(30分钟)

由条件概率的定义式变形立即可得如下定理:

乘法定理:设P(A)>0,则有P(AB)=P(A)P(B|A)。

以上是两个事件的积事件的展开。

推广到三个事件的情况:设有A,B,C三个事件,且P(AB)>0,于是:P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)。

注意:如果P(AB)>0,则必有P(A)>0及P(B)>0

同理:可推广到更多个的情况

       A1, A2, … , Ann个事件,n³2,且P(A1A2An-1)>0,则有

P(A1A2An)=P(An|A1A2An-1)P(An-1|A1A2An-2)…P(A2|A1)P(A1)

  乘法定理解决积事件的概率问题,可借助排列组合中的乘法定理来理解概率中的乘法定理。

  乘法定理解决的问题中:完成一项任务分多个步骤,将每个步骤在前面步骤完成的条件下其完成的概率相乘。

                 

                 

第四部分:全概率公式与贝叶斯公式(25分钟)

(一).全概率公式:对应排列组合中的加法,完成一项任务有多种可能的并行情况,这些情况的数目的和就是完成该任务的所有可能情况。

例1:已知男人中有5%是色盲患者,女人中有0.25%是色盲患者(此例保留)

在男女人数相等的人群中,随机挑选一人,问是色盲的概率P(C)是所少?

分析:依题意,设有2n个人,n个男人,n个女人。

C:挑选的1人是色盲.

A:调选的是男人.

B:挑选的是女人.

        由等可能概型,P(C)=                                    

                       =1/2×5%+1/2×0.25%

                       P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)

并且AB=Φ,A∪B=S,分别计算出挑选的是男人和女人的情况下是色盲的概率,把两种情况下的概率相加得到总概率,这种对样本空间适当分解的思想,有利于解决稍微复杂一点的概率问题,这就是全概率公式。

首先来学习一个重要的概念:完备事件组

定义:设S为试验E的样本空间,B1B2Bn为E的一组事件。若

(i) BiBj=Φijij=1,2,n

(ii) B1B2Bn=S

则称B1B2Bn为S的一个划分。

※每次试验,事件B1B2,…,Bn中有且仅有一个发生!

 

例2:S={1,2,3,4,5,6}则划分正确的是

    B1={1,2,3}     B2={4,5}       B3={6}    √

B1={1,2,3}   B2={3,4}     B3={5,6} ×

全概率公式:设E的样本空间为S,A为E的事件,B1B2,…,Bn为S的一个划分,且P(Bi)>0(i=1,2,…,n),则

P(A)P(A|B1) P(B1)+P(A|B2) P(B2)+ …+ P(A|Bn) P(Bn)。

证:         P(A)=P(AS)= P(A(B1B2Bn)) 

     由分配率          =P(AB1AB2ABn)

     而对任意的ijij=1,2,…,n,有(ABi)(ABj)= ABiBj=Φ

     由有限可加性      =P(AB1)+P(AB2)+   …+ P(ABn).

     P(Bi)>0,由乘法定理上式展开得:

                     P(A|B1) P(B1)+P(A|B2) P(B2)+ …+ P(A|Bn) P(Bn)。

全概率物理意义:全概率实际上是在一个样本空间全划分(基本事件集)下,所有划分事件发生的条件下,各个基本事件的发生概率及其条件概率的加权求和过程!

在全概率公式中要注意以下几点:

      1)条件P(Bi)>0,划分不能是空集;

2B1B2,…,Bn正好覆盖S中的所有元素;

3)在应用上,那些不便直接求某一事件的概率时,先找到一个合适的划分,再用全概率公式计算。

                 

                 

 

 

(二).贝叶斯(Bayes)公式

事件A的发生当且仅当构成S的划分的事件B1B2,…,Bn中的一个发生时才发生,那么如果事件A已经发生了,那么可能是事件Bi发生所导致的概率是多少呢?或者说如果事件A发生了,我们考察在此种情况下,由Bi发生导致A发生的条件概率如何计算呢。这种问题我们称其为后验概率问题,有利于我们查找事件发生的原因。解决此类问题可采用贝叶斯(Bayes)公式。

 

贝叶斯(Bayes)公式:

设E的样本空间为S,A为E的事件,B1B2,…,Bn为S的一个划分,且P(A)>0,P(Bi)>0(i=1,2,…,n),则

P(Bi|A)=                   i=1,2,…,n

称为贝叶斯公式。

证:由条件概率公式P(Bi|A)=                   再用乘法定理和全概率公式对分子分母展开即得所求。(实际上是一个推论)

注意:利用全概率公式和贝叶斯公式解决概率问题的关键,首先在于能够寻找到一个样本空间的完整划分

例1:在全概率公式中的例子中,如果已知挑选的一人是色盲,求该患者是男人的概率?  C:挑选的1人是色盲,A:调选的是男人,B:挑选的是女人

则所求为条件概率P(A|C)=                   =20/21

 

                 

 

板书回顾

 

 

 

 

 

 

 

 

PPT

 

 

 

 

 

 

 

 

板书讲解

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

启发思考:条件发生与没有条件时样本空间的区别

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

PPT

 

 

 

 

 

 

PPT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

PPT

 

 

 

 

 

 

思路启发

 

 

 

 

 

 

PPT

 

 

 

 

 

 

 

更一般化的模型推广

(重点)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

简化步骤

 

 

 

PPT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

重点

 

 

 

 

 

 

 

PPT

 

 

 

 

 

作业布置:教材P19页8、9、10题

 

 

附件【1.pptx已下载
关闭窗口
河北金融学院 | 中国教育报 | 中国知网

哈尔滨金融学院基础教研部网站  版权所有